4 মহিলাসহ 10 ব্যক্তির মধ্য থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন মহিলা অন্তর্ভূক্ত থাকবে । কত প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

কমিটি গঠনের এই সমস্যাটি বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutations and Combinations) এর অন্তর্গত। এখানে কমপক্ষে একজন মহিলা অন্তর্ভুক্ত করে একটি কমিটি গঠন করতে হবে। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য দুটি পদ্ধতি অনুসরণ করা যেতে পারে:

বিস্তারিত সমাধান:

মোট ব্যক্তি = ১০ জন

মহিলা = ৪ জন

পুরুষ = (১০ - ৪) = ৬ জন

কমিটির সদস্য সংখ্যা = ৫ জন

শর্ত: কমিটিতে অন্তত একজন মহিলা থাকতে হবে।

এটি বিভিন্ন সম্ভাব্য ক্ষেত্রে ভাগ করে সমাধান করা যেতে পারে:

১. ১ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষ:

৪ জন মহিলা থেকে ১ জন মহিলা নির্বাচনের উপায় = \(C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4\)

৬ জন পুরুষ থেকে ৪ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায় = \(C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)

এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(4 \times 15 = 60\)

২. ২ জন মহিলা ও ৩ জন পুরুষ:

৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচনের উপায় = \(C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

৬ জন পুরুষ থেকে ৩ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায় = \(C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)

এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(6 \times 20 = 120\)

৩. ৩ জন মহিলা ও ২ জন পুরুষ:

৪ জন মহিলা থেকে ৩ জন মহিলা নির্বাচনের উপায় = \(C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4\)

৬ জন পুরুষ থেকে ২ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায় = \(C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)

এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(4 \times 15 = 60\)

৪. ৪ জন মহিলা ও ১ জন পুরুষ:

৪ জন মহিলা থেকে ৪ জন মহিলা নির্বাচনের উপায় = \(C(4, 4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1\)

৬ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায় = \(C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6\)

এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(1 \times 6 = 6\)

অন্তত একজন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের মোট উপায় = \(60 + 120 + 60 + 6 = 246\)

এই ধরনের "অন্তত একজন" সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সহজ উপায় হলো: মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠন থেকে "কোনো মহিলা ছাড়া" কমিটি গঠনের উপায়গুলো বাদ দেওয়া।

১. মোট ১০ জন ব্যক্তি থেকে ৫ জনের কমিটি গঠনের মোট উপায় (কোনো শর্ত ছাড়া):

\(C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

\(= 10 \times \frac{9}{3} \times \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{5}\)

\(= 2 \times 3 \times 1 \times 7 \times 6\)

\(= 252\)

২. ৫ জনের কমিটি যেখানে কোনো মহিলা নেই (অর্থাৎ ৫ জনই পুরুষ):

মোট পুরুষ ৬ জন। এই ৬ জন পুরুষ থেকে ৫ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায়:

\(C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 6\)

৩. অন্তত একজন মহিলা সহ কমিটি গঠনের উপায় = (মোট কমিটি গঠনের উপায়) - (কোনো মহিলা ছাড়া কমিটি গঠনের উপায়)

\(= 252 - 6 = 246\)